Cramer's Rule

Fan2026-09-082026-09-10

克拉默法则

当系数行列式 $D \neq 0$ 时， $n$ 个未知数、 $n$ 个方程的线性方程组有唯一解，且每个未知数都能写成两个行列式之比 $x_{j} = D_{j} / D$ 。它优雅、深刻、理论价值极高；但作为计算工具，它昂贵而低效。

鸡兔同笼

《孙子算经》有：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”

设鸡 $x$ 只、兔 $y$ 只，得方程组

{\begin{cases} x + y = 35 \\ 2 x + 4 y = 94 \end{cases}

古人的“半足法”（足数减半再减头数得兔数）本质上就是消元。消元是算法：一步步做，答案逐步浮现。但数学家有个执念，像一元二次方程的求根公式

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

把线性方程组的解直接写成公式，就是克拉默法则。对这个笼子，它给出：

x = \frac{| \begin{matrix} 35 & 1 \\ 94 & 4 \end{matrix} |}{| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{matrix} |} = \frac{46}{2} = 23, y = \frac{| \begin{matrix} 1 & 35 \\ 2 & 94 \end{matrix} |}{| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{matrix} |} = \frac{24}{2} = 12.

鸡 23，兔 12。

多少个点确定一条曲线

加布里埃尔·克拉默（Gabriel Cramer, 1704–1752），瑞士日内瓦数学家。1750 年他出版《代数曲线分析引论》，研究一个时髦问题：5 个点确定一条二次曲线，9 个点确定一条三次曲线，以点拟合曲线时，未知数是多项式系数，问题归结为解线性方程组。在该书附录中，克拉默对一般的 $n$ 元方程组给出了用行列式之比表示解的规则，并发明了带双下标的系统记号。

优先权公案：苏格兰数学家麦克劳林的遗著《代数论著》（1748 年）已对二元、三元情形给出同样的规则。两人几乎同时、很可能独立，因此有科学史家主张应称“麦克劳林–克拉默法则”。更早的萌芽还可追到日本的关孝和（1683）与莱布尼茨（1693），但“行列式”作为系统概念，要等柯西、雅可比、凯莱在十九世纪才真正成熟。

法则的陈述

二阶行列式：

| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c .

三阶可用余子式展开。

对每一列都是线性的（多重线性）；两列相同则为零（交错性）。

定理:克拉默法则

含 $n$ 个未知数、 $n$ 个方程的线性方程组

\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{j} = b_{i}, i = 1, \dots, n,

若系数行列式

D = | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | \neq 0,

则方程组有解且解唯一：

x_{j} = \frac{D_{j}}{D}

其中 $D_{j}$ 是把 $D$ 的第 $j$ 列换成常数列 $(b_{1}, \dots, b_{n})^{T}$ 所得的行列式。

方程个数等于未知数个数（系数矩阵是方阵），且 $D \neq 0$ 。

2×2 一次消元

对二元方程组，第一式乘 $a_{22}$ 、第二式乘 $a_{12}$ 后相减， $y$ 项消：

(a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}) x = b_{1} a_{22} - b_{2} a_{12},

即 $D x = D_{1}$ ；同理 $D y = D_{2}$ 。请注意一个细节：消元时乘的系数 $(a_{22}, - a_{12})$ 恰好是 $x$ 的系数列的代数余子式。消元的本质是“用余子式制造零”，下面的一般证明正是这一招的推广。

三元：

{\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + 2 y + 3 z = 14 \\ 2 x - y + z = 3 \end{cases}

第一行展开得 $D = 5$ ；把第一、二、三列分别换成 $(6, 14, 3)^{T}$ ，得 $D_{1} = 5, D_{2} = 10, D_{3} = 15$ ，解为

x = \frac{5}{5} = 1, y = \frac{10}{5} = 2, z = \frac{15}{5} = 3.

一般证明

余子式消元

记 $a_{i k}$ 的代数余子式为 $C_{i k}$ 。把第 $i$ 个方程乘以 $C_{i k}$ ，并对 $i$ 求和：

\sum_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{j}) C_{i k} = \sum_{i = 1}^{n} b_{i} C_{i k} .

左边交换求和顺序： $\sum_{j} x_{j} (\sum_{i} a_{i j} C_{i k})$ 。由行列式按列展开理论：

$j = k$ 时， $\sum_{i} a_{i k} C_{i k} = D$ （按第 $k$ 列正常展开）；
$j \neq k$ 时， $\sum_{i} a_{i j} C_{i k} = 0$ （这相当于“用第 $j$ 列的元素配第 $k$ 列的余子式展开”，得到一个有两列相同的行列式，故为零）。

于是左边 $= x_{k} D$ 。右边把 $A$ 的第 $k$ 列换成 $b$ 后按第 $k$ 列展开的结果，即 $D_{k}$ 。故 $x_{k} D = D_{k}$ ，除以 $D$ 即得。

多重线性展开

把 $A$ 按列分块 $A = (a_{1}, \dots, a_{n})$ ，方程组即 $x_{1} a_{1} + \dots + x_{n} a_{n} = b$ 。对每个 $i$ ：

\begin{aligned} D_{i} & = det (a_{1}, \dots, a_{i - 1}, b, a_{i + 1}, \dots, a_{n}) \\ = det (a_{1}, \dots, a_{i - 1}, \sum_{j} x_{j} a_{j}, a_{i + 1}, \dots, a_{n}) & （代入 b ） \\ = \sum_{j} x_{j} det (a_{1}, \dots, a_{i - 1}, a_{j}, a_{i + 1}, \dots, a_{n}) & （该槽位线性） \\ = x_{i} det (A) . & （ j \neq i 时 a_{j} 出现两次，行列式为 0 ） \end{aligned}

$D \neq 0$ 时解的存在性由伴随矩阵恒等式 $A \cdot adj (A) = D \cdot I$ 保证：直接验证 $x = adj (A) b / D$ 满足 $A x = b$ 。

$A^{- 1} = adj (A) / D$ 就是克拉默法则的等价形式。

若 $D = 0$ 而某个 $D_{i} \neq 0$ ，方程组无解（否则会推出 $0 = D_{i}$ 的矛盾）

几何意义

设 $u, v$ 是 $A$ 的两列， $b = x u + y v$ 。记 $[p, q] = det (p, q)$ （两向量张成平行四边形的有向面积）。由交错性 $[v, v] = 0$ ：

[b, v] = x [u, v] + y [v, v] = x [u, v] .

固定一条边，把另一条边从 $u$ 换成 $b$ ，平行四边形的有向面积精确地变为原来的 $x$ ，因为 $b$ 中与 $v$ 平行的分量不贡献任何面积。所以 $x = [b, v] / [u, v]$ ：横坐标是两个有向面积之比。

一般 $n$ 维情形： $| det A |$ 是 $n$ 根“支柱” $a_{1}, \dots, a_{n}$ 撑起的平行多面体的（有向）体积。把第 $i$ 根支柱换成 $b$ ，体积恰好变为原来的 $x_{i}$ 倍。克拉默法则的几何内核就是一句话：坐标是体积之比。行列式的正负号（定向是否翻转）也自然解释了公式中的符号约定。

美丽而昂贵的代价：

设克拉默是“求根公式”，高斯消元是“配方法”，那么我们必须诚实地谈成本。用余子式展开计算 $n$ 阶行列式满足递推 $T (n) = n T (n - 1) + O (n^{2})$ ，即 $Θ (n!)$ 。按每秒 $10^{9}$ 次运算：

$n$	余子式展开耗时	高斯消元 $\frac{2}{3} n^{3}$
10	约 0.004 秒	微秒级
15	约 22 分钟	微秒级
20	约 77 年	微秒级
25	约五亿年	约 1 万次运算，微秒级

即便用 LU 分解（每个行列式 $O (n^{3})$ ）来算这 $n + 1$ 个行列式，总代价约 $(n + 1) \cdot \frac{2}{3} n^{3}$ ，是直接消元求解的约 $n$ 倍，纯属浪费。数值上更糟：接近奇异时 $D$ 与 $D_{j}$ 可能同时巨大或微小，比值易上溢、下溢，误差被放大。所以 LAPACK、MATLAB 的 \、NumPy 的 solve，底层全部是带选主元的 LU 分解，不会用克拉默。

对固定的小系统（ $n = 2, 3$ ），显式公式可以内联进代码、向量化，反而极快：计算机图形学中射线与三角形求交的 Möller–Trumbore 算法，本质就是一次 $3 \times 3$ 克拉默。此外，正如二次方程求根公式在 $b^{2} ≫ 4 a c$ 时也有灾难性开销一样，公式透明≠算法稳健

理论价值

解是系数的显式有理函数。 $x_{j} = D_{j} / D$ 是系数的多项式之比。于是只要 $D \neq 0$ ，当系数光滑（甚至解析）地依赖参数 $t$ 时，解自动光滑（解析）地依赖 $t$ 。这是扰动分析、隐函数思想、经济学比较静态的底层机制之一，IS-LM 模型每本中级宏观教材都在用克拉默求 $\partial Y / \partial G$ 。
环上的结构。 $D \cdot x_{j} = D_{j}$ 说明：整系数、整常数项时，解的分母整除 $D$ ；特别地 $D = \pm 1$ 时整数方程组有整数解（单模矩阵，数论与格理论中的常客）。法则在有限域、多项式环上同样成立，这是“环上的线性代数”。
插值的存在唯一性。 $n + 1$ 个互异节点上的插值问题归结为范德蒙德方程组，其行列式 $\prod_{i < j} (x_{j} - x_{i}) \neq 0$ ，克拉默法则一步给出插值多项式的存在唯一性。妙极了：这正是克拉默当年造出这个法则的原始动机，法则回到了它的出生地。
常微分方程。二阶线性方程“变易常数法”中待定系数恰由二元克拉默解出，分母正是朗斯基行列式 $W$ ， $W \neq 0$ 与 $D \neq 0$ 呼应得严丝合缝。
小规模符号计算。例如部分分式： $\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$ 给出 $A + B = 0, 2 A + B = 1$ ， $D = - 1$ ， $D_{A} = - 1$ ， $D_{B} = 1$ ，立刻 $A = 1, B = - 1$ 。

当 $D = 0$ 时

$D = 0$ 时法则沉默。此时方程组无解或有无穷多解，需要秩理论（Rouché–Capelli 定理：有解 $⟺ rank A = rank [A | b]$ ）来裁决。但克拉默的遗产仍能帮上一半的忙：

某个 $D_{i} \neq 0$ ⇒ 必无解（第四节推论）。例如 $x + y = 1, 2 x + 2 y = 3$ ： $D = 0$ 而 $D_{1} = - 1 \neq 0$ ，矛盾立判。
$D = 0$ 且所有 $D_{i} = 0$ ⇒ 不能下结论。二元时（ $A \neq 0$ ）确为无穷多解；但三元及以上可能翻车：

{\begin{cases} x + 0 y + 0 z = 0 \\ 0 x + 0 y + 0 z = 1 \\ 0 x + 0 y + 0 z = 0 \end{cases}

无解（第二式 $0 = 1$ ），却 $D = D_{1} = D_{2} = D_{3} = 0$ 。

进阶注记：当 $rank A = n - 1$ 时，伴随矩阵非零，可以证明“所有 $D_{i} = 0$ ”恰好等价于“有解”（此时为无穷多）；当 $rank A \leq n - 2$ 时伴随矩阵为零， $D_{i}$ 恒为零，判别彻底失效，上面那个反例正是 $rank A = 1$ 的情形。

方法对照表：

方法	适用范围	复杂度
高斯消元（选主元）	任意矩形方程组	$O (n^{3})$
克拉默法则	$n \times n$ 且 $D \neq 0$	$O (n!)$ /余子式
逆矩阵 $x = A^{- 1} b$	$n \times n$ 可逆	$O (n^{3})$